一种随机干扰数据的快速抛物线拟合算法(2)

　　式中：[PT]表示矩阵[P]的转置；[（PTP）-1]表示矩阵[（PTP）]的逆矩阵。因此：

　　记：

　　[A=k=1Ny（k）B=k=1Nky（k）C=k=1Nk2y（k）]

　　[D=3（3N2+3N+2）N（N-1）（N-2）E=12（2N+1）（8N+11）N（N2-1）（N2-4）F=180N（N2-1）（N2-4）G=-18（2N+1）N（N-1）（N-2）H=-180N（N-1）（N2-4）I=30N（N-1）（N-2）]

　　则：

　　[cba=DGIGEHIHFABC=DGIGEHIHF=AD+BG+CIAG+BE+CHAI+BH+CF]

　　即：

　　[a=AI+BH+CFb=AG+BE+CHc=AD+BG+CI]

　　2 初始时刻为[t0≠0]的情形

　　这一情形拟合算法的实现步骤包括采集数据、平移数据、中间结果计算和拟合系数计算，如图1所示。

　　假定在第[i]个采样时刻接收到的带干扰数据为[y（i），][i=t0+1，t0+2，…，t0+N，]待拟合的抛物线为[y=at2+bt+c。]此时上述拟合矩阵中元素的数值较大，因此容易引起许多不良后果，在计算中容易导致溢出，运算更加复杂。为此，可以将采样数据沿横坐标左移[t0]，得到的数据为：

　　[y（i）=y（t0+i），i=1，2，…，N]

　　利用上述逆合方法可以求出相应的抛物线[y=at2+bt+c]中的系数[a，b，c。]由坐标平移可得：

　　[at2+bt+c=a（t-t0）2+b（t-t0）+c]

　　即：

　　[at2+bt+c=at2+（b-2at0）t+at02-bt0+c]

　　因此：

　　[a=a，b=（b-2at0）c=at02-bt0+c]

　　拟合步骤如图1所示。

　　图1 抛物线拟合算法实现步骤

　　3 采样周期[Δt≠1]的情形

　　以上讨论针对的是采样周期[Δt=1]的情形，其实上述结果也可以推广到[Δt≠1]的情形，此时抛物线拟合方程组可表示为：

　　[y（1）y（2）y（N）=1Δt（Δt）212Δt22（Δt）21NΔtN2（Δt）2cba]

　　或：

　　[y（1）y（2）y（N）=11112221NN2cbΔta（Δt）2]

　　因此，如果按照采样周期[Δt=1]的拟合方法，得到的拟合抛物线为：

　　[y=at2+bt+c]

　　则拟合曲线可表示为：

　　[y=a（Δt）2t2+bΔt t+c]

　　4 仿真

　　对于波形为[y=-t2+t]的抛物线信号，考虑时段[t∈[0，1]]内的波形拟合问题。假定随机干扰信号为白噪声[N（0， 0.05），]以采样周期为0.01 s为例，可以得到100个采样数据。抛物线及其拟合曲线如图2所示。

　　采用上述拟合算法，得到的拟合抛物线为：

　　[y=-1.009 4t2+1.055 8t-0.009 4]

　　需要指出的是当白噪声为[N（0，0.01）]时，图2中的两条曲线完全重合，从图形上已无法分辨，仿真时为了从图形上区分两条曲线，采用方差较大的白噪声[N（0， 0.05）。]

　　5 结论

　　为了提高信号探测的精度，数据的采样周期必须足够短，对实时拟合的情形，这意味着拟合的速度必须足够高。而在拟合过程中最复杂的运算就是逆矩阵的计算。本文中提出的方法避免了逆矩阵的运算，因此运算速度极大地提高，缩短了数据的采样周期，从而进一步提高了信号探测的精度。

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