在比较中感受“标准”的价值(2)

　　（1）“倍”的认识
　　“倍”的第一次呈现是在人教版二上第六单元“表内乘法（二）”，在学生学习完7的乘法口诀后学习“倍”。
　　“倍”对学生而言是抽象的、陌生的。“倍”的第一次呈现实际上是对乘法结构的一次处理，根据2个4根、3个4根与1个4根的关系，引出“一个数的几倍”的含义。在这样的基础上去认识“倍”这个名词，去理解“倍”的意思，学生是以乘法为认识的载体，是在“几个几”的基础上理解和认识“倍”这个概念的。
　　“倍”的第二次呈现是在人教版二下学生学习了用7、8、9的乘法口诀求商后，安排了“求一个数是另一个数的几倍”的除法应用题。
　　学生学习到这里时，已经开始认识到“一个数是另一个数的几倍”的核心结构，是真正的两个数量在相互比较，即用其中的一个量作为标准，另一个量包含了几个标准量就是标准量的几倍。
　　通过对前面教材的梳理，笔者有了一种设想，在后续的学习中会出现“求一倍量”的教学。但是人教版教材在二下安排了求一个数是另一个数的几倍后，对“倍”的知识就不再研究了，教材上没有专门设计“求一倍量”的例题，只是在三年级下安排了一道练习。
　　通过梳理苏教版、西师版教材，笔者发现这两个版本的教材也没有专门设计“求一倍量”的例题。这是编写者的有意为之。那么编写者为什么这样考虑呢，是不是这部分内容学生不用学就会了？为此笔者对学生的学习状况展开了调查研究。
　　调研发现：单从解决问题的角度看，倍数关系和份总关系在结构上有很多相似之处，都是一乘两除的模型。教材中对于份总关系的研究提供的素材很多，学生在遇到求一倍量的问题时可以借助份总关系的模型以及除法的意义和倍数的三量关系来解决。就解决问题的方法来说，学生没有太大的困难。编者可能基于这个角度考虑，没有将“求一倍量”的例题编入教材。
　　但笔者认为从比较关系的角度来看，加入“求一倍量”的学习很有必要。从高年级学生的情况来看，学生进入高年级后，学习分数、百分数、比等应用问题时就存在一定困难，错误较多，主要表现在找不准比较的“标准”，因为他们没有掌握比较的方法。
　　（2）“倍”与分数、百分数、比的关系
　　“倍”概念的后续学习还有分数、百分数、比的概念，与“倍”的概念有着密切联系。
　　分数既可以表示一个具体的数，也可以表示两个数之间的关系。分数可以表示率也可以表示量。百分数与分数的区别就在于，百分数只表示两个数之间的关系，并且只表示率。在小学阶段，一般当商大于1时，习惯说被除数是除数的多少倍，而当商小于1时，习惯说被除数是除数的几分之几或百分之几。比也是两个数量之间进行比较，比的前项与后项之间存在着的关系就是倍数关系。因此，笔者认为分数、百分数、比都是对整数“倍”的扩展，其本质是“倍”的概念，所以“倍”概念的建立至关重要。
　　（3）不同版本“倍”的出现形式
　　在梳理教材的过程中笔者发现，人教、苏教两套不同版本教材中的“倍”都有四种外显的形式，可以将它称为对“倍”的认识的四种表征，即情境表征、图形表征、语言表征和算式表征。学生可以从以上四种表征入手，学习“倍”的概念。
　　3.“倍”的核心思想
　　“倍”概念实质上体现了两个量之间的比较关系，所以“比较”就是“倍”概念的核心思想。那么，什么是比较呢？通过收集查看相关的资料，可得出：比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。数学中的比较是多方面的，包括量的大小比较、结构和关系比较、数学性质比较等。在小学阶段涉及的主要是量的大小比较、结构和关系的比较。
　　比较关系从知识点的角度说可以分为这样几个层次（见图1）：首先是一年级出现的相差关系；之后是二年级开始出现的倍比关系（倍）；再往后是高年级出现的比率关系（分数、百分数、比）。
　　从比较的方法上来看，相差关系是两个量之间在“比多比少”；倍比关系是两个量之间用其中一个量作为标准，另一个量包含了几个它就是它的几倍。比较中的关键是要确定标准，其次就要把“比较量”按照“标准”去分。在高年级的比率关系中出现了比较量小于标准量的情况，这时也就出现了分率。只有当学生清楚地了解了比较的核心、比较的方法、比较的步骤时才能真正理解“倍”的概念，真正体会到比较中“标准”的价值。
　　三、学生认知情况研究

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