古典概型与几何概型解法扫描

　　在数学解题中，如果你对哪个知识点没有掌握，那么在解决相关题目时就会有"巧妇难为无米之炊"的困惑.如果你对数学解题方法没有掌握，那么在解题时就犹如"航海没有了灯塔，旅行迷失了方向".可见数学解题方法的重要性，下面就让我们一起赏析古典概型与几何概型中的常用方法吧.
　　一、求和法
　　如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））
　　例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.
　　分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.
　　解析：设"中三等奖"为事件A，"中奖"为事件B.
　　从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.
　　（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.
　　事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；
　　事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.
　　由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.
　　（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.
　　事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；
　　事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，
　　由（1）可知，P（A）=716，
　　由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.
　　点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.
　　二、正难则反法
　　对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是"至少"、"至多"、"否定"或"肯定"等.
　　例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
　　（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
　　（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
　　分析：利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足n
　　解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个.
　　因此所求事件的概率为13.
　　（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.
　　所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.
　　所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316，
　　故满足条件n
　　点评：在数学解题中，若从正面或顺向难以解决，则不妨进行反面或逆向思考，这就是正难则反策略.这种策略提醒我们，从正面解决困难时可考虑反面求解，直接解决困难时可考虑间接解决，顺推困难时可考虑逆推.这种思维实际上是逆向思维，体现了思维的灵活.
　　三、数形结合法
　　根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式.
　　例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
　　（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
　　（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0
　　x>0
　　y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.

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